24. Enrico Borghi – Spazio vettoriale, spazio affine


Il modello matematico dello spazio fisico 3-dimensionale in uso in Meccanica newtoniana, o dello spaziotempo 4-dimensionale in uso in Meccanica einsteiniana, è l’insieme R^3, o R^4 , dei numeri reali, insieme che, in accordo con il dettato fondamentale del trattato di N. Bourbaki*  “Éléments de Mathématique”, conviene presentare non come palcoscenico d’azione delle tradizionali discipline matematiche: aritmetica/algebra, analisi, geometria, ma come oggetto dotato di tre strutture matematiche di base: algebrica,  topologica e  d’ordine (o di relazione).

Una struttura matematica, volendo limitarsi a darne una definizione intuitiva (una definizione matematica richiede un elevato livello di astrazione), è una “organizzazione” fra gli elementi di un insieme, che, una volta messa in evidenza, permette di compiere operazioni di catalogazione, sistematizzazione e confronto dei vari corpi nei quali la matematica si è differenziata nel suo sviluppo storico e che entrano a far parte del  modello dello spazio fisico; questo riceve così via via le strutture che consentono di sostenere la descrizione  dei fenomeni fisici che lo interessano.

Ad esempio, la struttura topologica, con i suoi concetti di vicinanza, limite e continuità, sta alla base del calcolo differenziale/integrale, mentre la struttura algebrica è quella che sostiene il concetto di “gruppo”, o di “campo”, o di “spazio vettoriale”, o di “spazio affine”, o di “spazio metrico”, o di “spazio normato”, o di “spazio proiettivo”,….

Le tre strutture di base non sono mutuamente riducibili, cioè nessuna può essere derivata da nessun’altra, e però sono combinabili e cumulabili in modo da generare ogni possibile corpo della Matematica.

Perché dovremmo essere interessati, in Fisica, a introdurre il concetto di struttura matematica?

Perché la Matematica è il linguaggio della Fisica. Presentarla mettendo in evidenza la sua “organizzazione strutturale” non può che avere conseguenze chiarificatrici in grado di agevolare l’uso che se ne fa quando si indaga sui fenomeni naturali.

In questo studio si esaminano due strutture algebriche: quella di spazio vettoriale e quella di spazio affine. La struttura di spazio affine è da considerarsi la struttura algebrica di base nel modello matematico dello spazio fisico cui si accennava più sopra, cioè nell’insieme R^3 , o R^4, dei numeri reali da dotare ulteriormente, a sostegno del concetto di distanza, della struttura di spazio metrico rispettivamente euclideo e pseudoeuclideo (Relatività speciale)/riemanniano (Relatività generale).

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* Nicolas Bourbaki è uno pseudonimo adottato da un gruppo di matematici, soprattutto francesi, che si dedicarono, per diversi decenni a partire dagli anni ’30 del 1900, a rinnovare la presentazione della Matematica.

 

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