33. Enrico Borghi – L’equazione di Klein-Gordon


L’equazione di Schrödinger non è Lorentz-covariante, cioè non è invariante in forma per trasformazioni di coordinate di Lorentz.

L’equazione di Klein-Gordon, di cui si parla in questo studio, costituisce il risultato di un tentativo di elaborare l’equazione di Schrödinger per renderla Lorentz-covariante. L’elaborazione consiste nell’adottare una procedura che permette di estendere al secondo ordine la derivata temporale che nell’equazione di Schrödinger compare al primo ordine, cosicché tutte le derivate che compaiono nell’equazione di Klein-Gordon sono di secondo ordine.

E’ un tentativo riuscito, dato che si può mostrare non solo che l’equazione di Klein-Gordon per una particella è effettivamente Lorentz-covariante ma anche che, per valori dell’energia cinetica della particella piccoli rispetto alla sua energia di riposo, tende ad assumere la forma dell’equazione di Schrödinger. Inoltre, come l’equazione di Schrödinger, anche l’equazione di Klein-Gordon descrive particelle prive di spin e può descrivere particelle dotate di carica elettrica. Infine entrambe le Meccaniche di Schrödinger e di Klein-Gordon sono basate sia su equazioni descrittive di particelle che su equazioni “classiche” di campo cui sono associabili variabili dinamiche che, una volta quantizzate, forniscono la descrizione di sistemi di particelle.

Tuttavia l’equazione di Klein-Gordon presenta due aspetti critici: 1) è verificata da funzioni d’onda in cui compare una energia negativa; 2) l’interpretazione probabilistica della funzione d’onda proposta da Born per l’equazione di Schrödinger non è accettabile per l’equazione di Klein-Gordon perché può dar luogo a probabilità negative.

A causa di queste due difficoltà interpretative l’interesse della comunità dei fisici per questa equazione è stato, al suo apparire, assai limitato perché si pensava che non potesse essere applicata allo studio di alcun fenomeno fisico.

Ma questa convinzione ha dovuto essere abbandonata a seguito dell’introduzione in Fisica di concetti originati dal tentativo di rendere Lorentz-covariante l’equazione di Schrödinger seguendo un percorso diverso da quello di Klein-Gordon: si tratta dello sviluppo proposto da Dirac, che ha reso Lorentz-covariante l’equazione di Schrödinger “linearizzando”, cioè riducendo al primo ordine, le derivate spaziali in essa presenti che, come sappiamo, sono di secondo ordine (mentre la derivata temporale è di primo ordine).

Dunque, con Klein-Gordon la Lorentz-covarianza dell’equazione di Schrödinger è stata ottenuta estendendo al secondo ordine la derivata temporale, e con Dirac riducendo al primo ordine tutte le derivate spaziali.

In “fisicarivisitata” la procedura di linearizzazione di Dirac e le conseguenze che essa ha avuto sui problemi interpretativi dell’equazione di Klein-Gordon verranno presentate in più studi organizzati in un percorso, più logico che storico, tendente a fornire una visione sintetica delle più importanti scoperte fatte dalla Fisica, a valle dell’equazione di Schrödinger, nei decenni 1920 e 1930, a seguito dell’impatto della Teoria della Relatività speciale sulla Meccanica quantistica.

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