34. Enrico Borghi – Rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz


Di rappresentazioni di gruppi si è parlato in uno studio omonimo presente in “fisicarivisitata”. Ricordiamo che rappresentare un gruppo significa stabilire una corrispondenza (omomorfismo) fra gli elementi del gruppo e gli elementi dell’insieme delle trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso.

Consideriamo il gruppo delle trasformazioni di coordinate di Lorentz (se ne parla in Appendice a questo studio). Questo gruppo ammette rappresentazioni tensoriali e spinoriali.

Degli oggetti matematici associati alle rappresentazioni tensoriali, cioè i tensori, si è parlato diffusamente nello studio “Tensori” presente in “fisicarivisitata”.

In questo studio ci interessiamo alle rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz e agli oggetti matematici ad esse associati, cioè gli spinori. Di spinori si è già parlato nello studio (pre-relativistico) “Teoria di Pauli sullo spin dell’elettrone”. Ora riprenderemo in esame questo concetto per esaminare come può essere introdotto nell’ambiente della Relatività speciale e come può essere ad esso adattato. Si può così constatare che, per ottenere un corretto adattamento, occorre definire oggetti matematici come i bispinori o i tensobispinori.

Perché siamo interessati a questi oggetti?

Perché compaiono in una equazione che verrà presentata in un prossimo studio e che è dotata di proprietà quantistico-relativistiche: è l’equazione di Dirac per l’elettrone. Nell’equazione di Dirac la funzione d’onda non è uno scalare, come avviene nell’equazione di Schrödinger, né uno spinore, come avviene nell’equazione di Pauli per l’elettrone, ma è un bispinore di primo ordine.

Notiamo, per inciso, che un bispinore di primo ordine non è una rappresentazione fedele (isomorfismo) del gruppo completo di Lorentz, ma è una rappresentazione a due valori. Tuttavia nello studio in cui verrà presentata l’equazione di Dirac si mostrerà come, servendosi di bispinori di primo ordine, è possibile costruire oggetti matematici aventi proprietà simili a quelle dei tensori, che sono rappresentazioni fedeli del gruppo completo di Lorentz, e questo ci permette di definire variabili dinamiche del campo di Dirac dotate di corrette proprietà relativistiche.

Il concetto di rappresentazione di gruppi assume dunque una posizione preminente nel percorso che ci conduce dall’equazione di Schrödinger all’equazione di Dirac perché ci indica come possiamo orientarci per costruire gli oggetti matematici necessari a descrivere nello spaziotempo la dinamica di una particella dotata di massa, carica elettrica e spin: l’elettrone.

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