35. Enrico Borghi – L’equazione di Dirac


L’equazione di Dirac è il punto di arrivo di una successione di studi che in “fisicarivisitata” hanno preso l’avvio con la “Teoria di Pauli sullo spin dell’elettrone”, dove l’equazione di Pauli viene presentata come una evoluzione dell’equazione di Schrödinger in grado di tener conto dello spin dell’elettrone.

L’equazione di Pauli riesce a descrivere alcuni aspetti della meccanica dell’elettrone considerato come particella dotata di spin, ma è il risultato di modifiche dell’equazione di Schrödinger introdotte “ad hoc” e incapaci di rendere l’equazione di Pauli Lorentz-covariante.

In uno studio che precede quello sulla Teoria di Pauli era stato introdotto il concetto generale di “Rappresentazione di gruppi” che successivamente è stato applicato allo studio delle “Rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz”. Si tratta di due lavori che hanno permesso di ottenere le definizioni di alcuni oggetti matematici, come i bispinori, che costituiscono la base  su cui può essere costruita l’equazione di Dirac per l’elettrone che, in questo studio, viene  presentata in tutta la varietà di formulazioni in cui può essere espressa.

Diversamente dall’equazione di Pauli, l’equazione di Dirac non è costruita ad hoc, ma consegue da un processo formale che parte da un tentativo di ridurre al primo ordine le derivate dell’equazione di Klein-Gordon, che è relativistica e di secondo ordine nelle derivate, con lo scopo di risolvere alcuni problemi interpretativi che l’equazione di Klein-Gordon sembrava presentare (v. lo studio omonimo presente in “fisicarivisitata”).

La riduzione al primo ordine delle derivate dell’equazione di Klein-Gordon può essere ottenuta facendo ricorso a oggetti matematici, come i sopracitati bispinori, dotati di caratteristiche utili per la descrizione delle proprietà fisiche di un elettrone.

L’equazione di Dirac così ottenuta non solo riesce a descrivere la dinamica quantistico-relativistica di un elettrone, ma risolve uno dei problemi sorti con l’equazione di Klein-Gordon che, come ricordiamo dallo studio omonimo, non permette di associare alla funzione d’onda una densità di probabilità definita positiva.

L’equazione bispinoriale di Dirac permette di risolvere questo problema, ma ne lascia irrisolto un altro perché, non diversamente da quanto si era già visto con la funzione d’onda scalare di Klein-Gordon, ammette soluzioni ad energia negativa che non possono essere semplicemente ignorate.

Come viene spiegato con maggior dettaglio in questo studio, il problema dell’energia negativa è stato affrontato da Dirac, che per risolverlo ha introdotto il concetto di “spazio vuoto riempito da un mare di elettroni”, che però non sono sperimentalmente osservabili, ed è stato successivamente affrontato anche da Stückelberg-Feynman, che per risolverlo hanno introdotto il concetto di elettrone “in moto all’indietro nel tempo”.

Che entrambe queste ipotesi siano poco convincenti appare evidente anche se sono state appena accennate ma, ciononostante, conviene prenderle in considerazione perché permettono di creare scenari ai quali riesce comodo appoggiarsi per affrontare problemi interpretativi dei fenomeni descritti dall’equazione di Dirac.

Di tutto questo si parla nel presente studio che, peraltro, si interessa soprattutto a descrivere la genesi fisico-matematica dell’equazione di Dirac, più che proporre esempi sull’uso che se ne può fare.

Considerazioni sul suo uso vengono rimandate a studi successivi.

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