37. Enrico Borghi – Commenti sulle equazioni di Klein-Gordon e di Dirac


Scopo di questo studio è presentare l’equazione di Dirac in modo da renderla confrontabile con l’equazione di Klein-Gordon. Per renderla confrontabile occorre introdurre nell’equazione di Dirac derivate spaziotemporali di secondo ordine in luogo delle derivate di primo ordine. Questa operazione può essere effettuata senza modificare la natura bispinoriale dell’equazione di Dirac.

Si può così constatare che nell’hamiltoniano dell’equazione di Dirac così riformulata compare un termine associabile all’accoppiamento dello spin dell’elettrone con il campo elettromagnetico, termine che non è presente nell’hamiltoniano dell’equazione scalare di Klein-Gordon in accordo col fatto che questa descrive particelle prive di spin (v. il cap. 2 dello studio “L’equazione di Klein-Gordon”).

Viene così rafforzata la validità dell’equazione di Dirac, validità che dovrà peraltro essere confermata applicandola allo studio di sistemi fisici in cui è messa in gioco la dinamica di un elettrone.

In entrambe le equazioni rimane il problema dell’interpretazione fisica dell’energia negativa, problema del quale nello studio “L’equazione di Dirac” sono state proposte soluzioni basate su assunzioni che hanno creato nuove perplessità.

Conviene a questo punto ricordare che una difficoltà interpretativa di non minore importanza si incontra nelle equazioni di Maxwell, dove si presenta il problema di spiegare fisicamente il fenomeno dell’interazione elettromagnetica fra cariche elettriche, interazione che, a seguito dell’avvento delle equazioni di Maxwell, si presentava come una non meglio precisabile “azione a distanza con velocità di propagazione finita”. Questo problema, affrontato dapprima facendo ricorso all’etere, è stato ripreso nella seconda metà dell’‘800 (esperimento di Michelson e Morley) e all’inizio del ‘900 (Teoria della Relatività speciale) quando l’etere è stato rimpiazzato dal campo elettromagnetico considerato come un oggetto fisico in grado di trasportare energia e quantità di moto.

Tuttavia anche questa assunzione deve essere abbandonata perché il campo e.m. non può essere un oggetto fisico (v., ad esempio, lo studio “Chiarimenti” presente in “fisicarivisitata”, o anche gli studi nn. 1 (Prima Parte), 10, 12, 13, 14) ma è un oggetto matematico. Dunque se descriviamo i fenomeni elettromagnetici servendoci delle equazioni di Maxwell e dell’associata espressione della forza di Lorentz e se vogliamo tentare di dare una interpretazione fisica del relativo formalismo matematico, non possiamo fare altro che ritornare all’assunzione originaria, cioè al concetto di azione a distanza con velocità di propagazione finita.

Un’altra ben nota difficoltà interpretativa è presente nell’equazione di Schrödinger, basti pensare al problema dell’interpretazione del fenomeno di particelle in attraversamento di uno schermo dotato di due fessure.

Dunque le equazioni di Maxwell, Schrödinger, Klein-Gordon e Dirac presentano non trascurabili problemi di interpretazione fisica e tuttavia, quasi fossero astratti programmi di calcolo, consentono di ottenere previsioni soddisfacenti quando le si applica allo studio di fenomeni in cui sono in gioco le particelle alle quali queste equazioni sono associate.

Questa considerazione non è nuova in “fisicarivisitata”: è già stata formulata nell’Introduzione dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica” dove però si è fatto anche notare che, passando dalle equazioni di Maxwell, Schrödinger, Klein-Gordon e Dirac alle corrispondenti teorie di campo si ottiene, una volta che le variabili dinamiche associate ai campi siano state sottoposte a quantizzazione, un quadro fisico più chiaro.

Esempio: alla teoria del campo di Maxwell sono associabili variabili dinamiche che, opportunamente quantizzate, descrivono i fotoni, che attualmente sono considerati i mediatori dell’interazione elettromagnetica.

Altro esempio: l’equazione di Schrödinger, quando descrive particelle che passano attraverso uno schermo dotato di due fessure finendo su uno schermo di raccolta, fornisce previsioni assai soddisfacenti del fenomeno quale che sia la massa delle particelle; in particolare si vede (a partire da pag. 210 dello studio sopracitato) che quanto maggiore è la massa delle particelle, tanto più “newtoniana” è la descrizione del loro comportamento, mentre al diminuire della massa fino ad arrivare a quella delle particelle subatomiche l’equazione di Schrödinger descrive con precisione quello che si osserva sperimentalmente sullo schermo di raccolta, cioè una distribuzione di particelle che ricorda quella dei fenomeni di interferenza di onde, e la ricorda tanto meglio quanto più piccole sono le masse delle particelle.

Non vi è, a tutt’oggi, una interpretazione fisica del modo di operare dell’equazione di Schrödinger che renda conto di questi fatti, il che equivale ad affermare che l’equazione di Schrödinger “funziona” correttamente anche se non riusciamo a capire perché.

Se però passiamo dall’equazione di Schrödinger alla teoria del campo di Schrödinger otteniamo, dopo aver opportunamente quantizzato le variabili dinamiche associate al campo, una descrizione corretta e comprensibile di un insieme di particelle, e non di onde.

Ma allora perché nel descrivere un fenomeno fisico si fa abitualmente uso delle equazioni di Schrödinger, o di Maxwell, o di Klein-Gordon, o di Dirac invece delle relative teorie di campo, che sono fisicamente meglio interpretabili?

Perché le teorie di campo sono in generale di difficile applicazione allo studio dei fenomeni fisici.

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