38. Enrico Borghi – Equazione di Dirac: energia dell’elettrone di un atomo idrogenoide


In questo studio ci proponiamo di verificare la validità dell’equazione di Dirac applicandola allo studio dell’energia di un elettrone in stato stazionario in un atomo idrogenoide.

E’ la ripresa relativistica di uno studio che non è nuovo perché ad esso ci siamo dedicati in Meccanica di Schrödinger quando si è calcolato lo spettro dei valori di energia di una particella elettricamente carica in un campo di forze centrali coulombiane (v. Appendice J, sezione C, dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica”). Ora però la particella che intendiamo considerare è un elettrone, che è dotato di spin, mentre la particella studiata in Meccanica di Schrödinger non ha spin, e l’equazione di Dirac è relativistica, mentre non lo è l’equazione di Schrödinger.

Ebbene, l’equazione di Dirac fornisce per l’energia dell’elettrone una distribuzione discreta di energia caratterizzata da livelli che sono presenti in numero assai maggiore di quelli forniti dalla Meccanica di Schrödinger, in accordo con quanto mostrano i risultati sperimentali.

Dunque la verifica della validità dell’equazione di Dirac dà esito positivo.

Rimane tuttavia il problema delle sue soluzioni ad energia negativa, per affrontare il quale i fisici hanno percorso due strade diverse.

In una (v. lo studio “L’equazione di Dirac”) si è cercato di risolvere il problema delle soluzioni ad energia negativa dell’equazione di Dirac attribuendo speciali proprietà allo spazio fisico nel quale si trova l’elettrone oppure attribuendo all’elettrone la proprietà del moto retrogrado nel tempo.

Nell’altra Foldy e Wouthuysen (1950) hanno considerato il problema da un altro punto di vista proponendo una trasformazione dell’hamiltoniano dell’elettrone tale che le soluzioni ad energia positiva risultino separate da quelle ad energia negativa. La trasformazione di Foldy-Wouthuysen, che permette anche di superare alcune difficoltà interpretative connesse con gli operatori di velocità e posizione associati alla Meccanica di Dirac, verrà trattata in un prossimo studio.

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