39. Enrico Borghi – Le variabili dinamiche del campo di Dirac


L’equazione di Dirac (v. studio omonimo) nasce in ambiente quantistico e può essere vista come evoluzione relativistica dell’equazione di Pauli (v. lo studio “Teoria di Pauli sullo spin dell’elettrone”) che è, a sua volta, uno sviluppo prerelativistico dell’equazione di Schrödinger avente lo scopo di descrivere una particella dotata di spin.

E’ tuttavia possibile considerare l’equazione di Dirac come una relazione matematica “classica” (“classica” = prequantistica/relativistica) collocabile in un ambito di regole e procedure “classiche” (anche se in essa compare la costante di Planck).                                     In particolare il bispinore di Dirac e il bispinore coniugato di Dirac, soluzioni delle rispettive equazioni, possono essere considerati coordinate lagrangiane mutuamente indipendenti definitorie di un oggetto matematico che chiamiamo “campo di Dirac” in funzione delle quali, e delle loro derivate, può essere costruita una lagrangiana individuata dalla condizione che, una volta introdotta nelle equazioni di Lagrange per sistemi continui (v. Appendice C dello studio “Il teorema di Nöther”), fornisca la sopracitata coppia di equazioni che stanno alla base della Meccanica di Dirac, cioè l’equazione bispinoriale di Dirac e l’equazione di Dirac per il bispinore coniugato.                                                           Una volta ottenuta una lagrangiana dotata delle suddette proprietà diviene possibile, facendo ricorso al teorema di Nöther (v. studio omonimo), definire le variabili dinamiche associate al campo di Dirac.

Perché siamo interessati allo sviluppo di questo laborioso formalismo?

Per rispondere a questa domanda occorre tener presente che, così come in Meccanica di Schrödinger alle variabili dinamiche newtoniane vengono associati operatori funzioni degli operatori posizione e momento, allo stesso modo alle variabili dinamiche del campo di Dirac possono essere associati operatori, funzioni dell’operatore bispinore di Dirac e dell’operatore bispinore coniugato di Dirac, ai quali possono essere applicate regole di quantizzazione che permettono di ottenere la descrizione delle particelle di cui si occupa l’equazione di Dirac, cioè elettroni e positroni. Dunque servendoci del campo di Dirac possiamo rendere più equilibrata la descrizione di queste particelle, nel senso che non si parla più di positroni intesi come “lacune” che si assumono create, nel mare di stati ad energia negativa occupati da elettroni non osservabili, da elettroni che, sollecitati da sufficiente energia, abbandonano tali stati diventando osservabili e generando coppie elettrone-lacuna = elettrone-positrone; si parla invece di elettroni e positroni ciascuno dotato di autonoma esistenza propria.

Ma non è tutto qui.

La quantizzazione del campo di Dirac rende possibile la descrizione di fenomeni sperimentalmente osservabili, come la creazione o la distruzione di elettroni/positroni, che l’equazione di Dirac non riesce a trattare.

Possiamo in definitiva concludere affermando che se riconsideriamo la Meccanica di Dirac in ambito quantistico dopo averla temporaneamente trattata come se fosse una relazione matematica prequantistica, otteniamo un progresso metodologico di grande importanza. Ciò detto, occorre precisare che lo scopo di questo studio è presentare le variabili dinamiche del campo “classico” di Dirac.                                                                                       La procedura generale della quantificazione dei campi (non solo del campo di Dirac), talvolta indicata come “seconda quantizzazione”, verrà presentata in uno studio futuro.

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