47. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Dirac


Questo è l’ultimo di quattro studi dedicati a campi fisico-matematici di diversa natura ai quali è stata applicata la procedura di quantizzazione delineata in “Introduzione alla quantizzazione dei campi”.                                                                                                                Gli studi sono:                                                                                                                                          – Quantizzazione del campo scalare hermitiano                                                                               – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon (campo scalare non hermitiano)                        – Quantizzazione del campo di Maxwell (campo vettoriale e reale)                                              – Quantizzazione del campo di Dirac (campo bispinoriale)                                                           I quanti del campo scalare hermitiano descrivono particelle dotate di massa ma prive di carica elettrica e di spin; i quanti del campo di Klein-Gordon descrivono particelle dotate di massa e carica elettrica ma prive di spin; i quanti del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) descrivono i fotoni, particelle prive di massa e di carica elettrica ma dotate di spin; i quanti del campo di Dirac descrivono gli elettroni e i positroni, dotati di massa, carica elettrica e spin.

La quantizzazione dei campi è uno strumento flessibile ed efficace ma allo stesso tempo è un argomento vasto e complicato perché la sua presentazione richiede apporti, oltre che dalla Meccanica quantistica, anche dal Teorema di Nöther e dalla Relatività speciale. Questo spiega perché in “fisicarivisitata” la quantizzazione dei campi è stata presentata soprattutto come una raccolta di esempi particolari di applicazione di un metodo, nel senso che nessuna delle procedure di quantizzazione sopraelencate è stata proposta nella sua completezza. Infatti di ciascuna sono state prese in esame solo alcune variabili dinamiche, come l’energia e/o la carica del campo e inoltre le particelle descritte dalle quantizzazioni che sono state considerate sono state assunte non interagenti e non soggette a campi esterni, e infine le quantizzazioni riguardano operatori associati a variabili dinamiche definite in ambito relativistico (Relatività speciale), ma i commutatori degli operatori di campo di cui tali operatori sono funzioni vengono definiti per tempi uguali e perciò non sono relativisticamente invarianti in forma.                                           Una estensione a commutatori relativisticamente covarianti verrà presentata in un prossimo studio.                                                                                                                                    E’ stato tuttavia dato risalto a condizioni accessorie, necessarie per rendere fisicamente accettabili i risultati di alcune procedure di quantizzazione, come la condizione di Lorenz per il campo di Maxwell e le regole di anticommutazione per gli operatori del campo di Dirac.                                                                                                                                                      Un aspetto che riguarda tutti campi considerati è la comparsa di infiniti che sono connessi con la presenza del vuoto fisico.

Ciò posto, esaminiamo più in dettaglio la quantizzazione del campo di Dirac.

Un importante risultato di questa procedura, che descrive fermioni (particelle con spin semiintero), è che, se si vuole renderla fisicamente accettabile, per gli operatori del campo di Dirac occorre introdurre regole di anticommutazione, mentre, come ricordiamo, per gli operatori del campo di Maxwell, che descrive bosoni (particelle con spin intero), valgono regole di commutazione.                                                                                                                     Se ne ricava, per gli operatori di campo, la seguente conclusione valida in generale: occorre usare regole di commutazione per i bosoni (ad es.: i fotoni), e regole di anticommutazione per i fermioni (ad es.: gli elettroni, i positroni, i neutroni, i protoni).

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