59. Enrico Borghi – Meccanica statistica quantistica


I metodi della Meccanica statistica che vengono presentati in questo studio possono essere applicati a sistemi di particelle che si trovano in condizioni di equilibrio termodinamico. Un sistema di particelle si trova in condizioni di equilibrio termodinamico se è dotato di temperatura uniforme,  non è soggetto a forze aventi risultante diversa da zero e non è  soggetto a variazioni di massa, composizione chimica e concentrazione.                                 Il sistema in equilibrio termodinamico che viene preso in considerazione (possiamo, ad esempio, pensare a un gas) è costituito di particelle identiche (molecole) in movimento entro un contenitore. Le particelle si suppongono non interagenti, a parte gli eventuali urti reciproci. Gli urti reciproci, o gli urti contro le pareti del contenitore che racchiude le particelle, si considerano perfettamente elastici cosicché non modificano l’energia associata al moto delle particelle.

In Meccanica classica si assume anche che le particelle siano identiche ma distinguibili, cioè tracciabili, perché in ogni istante occupano nello spazio delle fasi un punto di una traiettoria che parte da una posizione iniziale in una direzione definita da una velocità iniziale, essendo posizione e velocità iniziali entrambe distintamente precisabili per ogni particella, così come lo sono in ogni istante successivo.                                                       Questa descrizione del sistema di particelle, ognuna individuata da un punto mobile nello spazio delle fasi, è adeguata in ambito classico, ma non può essere usata in Meccanica quantistica perché in quest’ultima il Principio di Indeterminazione impone che ad ogni particella sia associato non un punto dello spazio delle fasi, ma una celletta di questo spazio dotata di dimensioni finite.

Poiché intendiamo passare dalla Meccanica classica alla Meccanica quantistica conviene preparare il passaggio riconfigurando la descrizione classica. La riconfigurazione si ottiene associando a ogni particella non un punto dello spazio delle fasi ma una celletta di dimensioni infinitesime cioè tendenti, al limite, a ridursi a un punto.                                     In ambito quantistico tali dimensioni infinitesime verranno considerate prima del limite, cioè verranno considerate finite e quindi non verranno ridotte a un punto.

Rimaniamo per ora in ambito classico, con la modifica dovuta all’introduzione delle cellette infinitesime.

Nello studio del sistema di particelle il passaggio dalla Meccanica classica alla Meccanica statistica classica, che è in pratica reso necessario dal grandissimo numero di particelle che sono presenti in   qualunque ordinario sistema materiale, comporta l’abbandono della descrizione del microstato del sistema, cioè di uno stato definito nello spazio delle fasi nel quale vengono considerate cellette infinitesime (una celletta per ogni particella), e l’introduzione della descrizione del macrostato, anch’esso definito nello spazio delle fasi e considerato costituito di estensioni tutte uguali, ciascuna composta di cellette.               Ogni celletta può contenere una particella dotata di una energia prossima all’energia che si assume associata all’estensione di cui la celletta fa parte.                                                             Il problema da risolvere è calcolare il numero dei modi in cui le particelle possono essere distribuite nelle estensioni dello spazio delle fasi. Ciascun modo si ottiene immaginando di ridistribuire le molecole rispettando i vincoli del loro numero totale e della loro energia totale e tenendo conto del fatto che le ridistribuzioni che avvengono fra particelle collocate in cellette contenute nella medesima estensione non devono essere prese in considerazione perché non corrispondono a variazioni dello stato energetico dell’insieme. Possiamo così determinare la probabilità di ciascuna distribuzione e calcolare quale distribuzione ha maggior probabilità di realizzarsi.                                                                  Tale distribuzione è quella che corrisponde allo stato di equilibrio termodinamico dell’insieme di particelle.

E’ questa, presentata in rapida sintesi, l’intuizione che ha permesso a L. Boltzmann di porre le basi della Termodinamica statistica classica.

L’ulteriore passaggio alla Meccanica statistica quantistica, che è l’argomento di cui si occupa questo studio, si basa ancora sul concetto di macrostato costituito di estensioni, ma ora a queste possono essere associate solo le energie permesse alle particelle nel contenitore entro il quale sono racchiuse (v. l’Appendice B di questo studio) e occorre anche tener conto, come si è ricordato più sopra, del Principio di Indeterminazione, che fissa nello spazio delle fasi una dimensione finita minima, e quindi non più infinitesima, per ogni celletta.                                                                                                                           Inoltre le particelle quantistiche del sistema meccanico che si prende in considerazione sono ancora identiche, ma non sono distinguibili perché non sono tracciabili in quanto non possono avere, né inizialmente né in alcun istante successivo, una posizione e una velocità entrambe ben definite. Se, ad esempio, una particella viene trovata in un certo istante in una posizione precisa, in quel medesimo istante la sua velocità è completamente indeterminata perciò la particella non è tracciabile.                                                            Questo fatto pone sulla funzione d’onda del sistema di particelle un vincolo: essa deve essere o simmetrica o antisimmetrica (v. l’Appendice A di questo studio).                          Una funzione d’onda simmetrica descrive particelle con spin intero (bosoni); una funzione d’onda antisimmetrica descrive particelle con spin semiintero (fermioni).

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