47. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Dirac


Questo è l’ultimo di quattro studi dedicati a campi fisico-matematici di diversa natura ai quali è stata applicata la procedura di quantizzazione delineata in “Introduzione alla quantizzazione dei campi”.                                                                                                                Gli studi sono:                                                                                                                                          – Quantizzazione del campo scalare hermitiano                                                                               – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon (campo scalare non hermitiano)                        – Quantizzazione del campo di Maxwell (campo vettoriale e reale)                                              – Quantizzazione del campo di Dirac (campo bispinoriale)                                                           I quanti del campo scalare hermitiano descrivono particelle dotate di massa ma prive di carica elettrica e di spin; i quanti del campo di Klein-Gordon descrivono particelle dotate di massa e carica elettrica ma prive di spin; i quanti del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) descrivono i fotoni, particelle prive di massa e di carica elettrica ma dotate di spin; i quanti del campo di Dirac descrivono gli elettroni e i positroni, dotati di massa, carica elettrica e spin.

La quantizzazione dei campi è uno strumento flessibile ed efficace ma allo stesso tempo è un argomento vasto e complicato perché la sua presentazione richiede apporti, oltre che dalla Meccanica quantistica, anche dal Teorema di Nöther e dalla Relatività speciale. Questo spiega perché in “fisicarivisitata” la quantizzazione dei campi è stata presentata soprattutto come una raccolta di esempi particolari di applicazione di un metodo, nel senso che nessuna delle procedure di quantizzazione sopraelencate è stata proposta nella sua completezza. Infatti di ciascuna sono state prese in esame solo alcune variabili dinamiche, come l’energia e/o la carica del campo e inoltre le particelle descritte dalle quantizzazioni che sono state considerate sono state assunte non interagenti e non soggette a campi esterni, e infine le quantizzazioni riguardano operatori associati a variabili dinamiche definite in ambito relativistico (Relatività speciale), ma i commutatori degli operatori di campo di cui tali operatori sono funzioni vengono definiti per tempi uguali e perciò non sono relativisticamente invarianti in forma.                                           Una estensione a commutatori relativisticamente covarianti verrà presentata in un prossimo studio.                                                                                                                                    E’ stato tuttavia dato risalto a condizioni accessorie, necessarie per rendere fisicamente accettabili i risultati di alcune procedure di quantizzazione, come la condizione di Lorenz per il campo di Maxwell e le regole di anticommutazione per gli operatori del campo di Dirac.                                                                                                                                                      Un aspetto che riguarda tutti campi considerati è la comparsa di infiniti che sono connessi con la presenza del vuoto fisico.

Ciò posto, esaminiamo più in dettaglio la quantizzazione del campo di Dirac.

Un importante risultato di questa procedura, che descrive fermioni (particelle con spin semiintero), è che, se si vuole renderla fisicamente accettabile, per gli operatori del campo di Dirac occorre introdurre regole di anticommutazione, mentre, come ricordiamo, per gli operatori del campo di Maxwell, che descrive bosoni (particelle con spin intero), valgono regole di commutazione.                                                                                                                     Se ne ricava, per gli operatori di campo, la seguente conclusione valida in generale: occorre usare regole di commutazione per i bosoni (ad es.: i fotoni), e regole di anticommutazione per i fermioni (ad es.: gli elettroni, i positroni, i neutroni, i protoni).

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46. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Maxwell


Come si è fatto notare descrivendo le procedure di quantizzazione del campo scalare hermitiano e del campo di Klein-Gordon, lo studio di base da tenere presente in questo tipo di studi, in cui viene considerata la quantizzazione di un campo, è la “Introduzione alla quantizzazione dei campi” di cui dunque ci serviremo anche per la quantizzazione del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) e faremo inoltre uso, come nei due precedenti, di risultati ottenuti dal Teorema di Nöther. Tali risultati sono stati presentati nello studio “Le variabili dinamiche del campo di Maxwell”.                                                    Un aspetto da sottolineare nella procedura di quantizzazione del campo di Maxwell sta nel fatto che, come viene detto a pag. 6 dello studio “Le variabili dinamiche del campo di Maxwell”, le “equazioni del moto” del campo, che sono espresse nel 4-potenziale elettromagnetico relativistico, sono state ottenute senza introdurre la condizione di Lorenz (v. la pag. 11 dello studio “Trasformazioni di gauge e meccanismo di Higgs”) e questo fatto dà origine, in sede di quantizzazione, a tre tipi di fotoni: scalari, longitudinali e trasversali dotati di una energia che non è definita positiva.                                                     Introducendo (in modo quantisticamente opportuno) la condizione di Lorenz si ottiene di eliminare i fotoni longitudinali e scalari mantenendo invariato il contributo dei fotoni trasversali (detti anche fotoni reali), ai quali la detta condizione associa una energia definita positiva.                                                                                                                                    Si ritrova così uno scenario quantistico corrispondente alla dinamica maxwelliana del campo e.m. libero, mentre nel caso di campi statici occorre tener conto anche dei fotoni scalari e longitudinali introducendo il concetto di fotone virtuale che sarà descritto in un prossimo studio.

I fotoni (scalari, longitudinali e trasversali) sono le uniche realtà fisiche responsabili delle interazioni elettromagnetiche che dunque non sono né mediate dall’etere né sostenute dal campo elettromagnetico perché l’etere non esiste e il campo e.m. è un oggetto matematico, non un oggetto fisico.                                                                                                                         Ma avanzare l’idea che il campo e.m. non sia un oggetto fisico comporta non trascurabili conseguenze a carico dell’impianto generale dell’Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale. Di questo si parla a lungo nel cap. 1 della Prima Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica” dove, rimanendo in ambito classico, viene messo in evidenza il fatto che se il campo e.m. è un oggetto fisico, come abitualmente si ritiene, allora il Teorema di Poynting non può essere una legge di conservazione dell’energia elettromagnetica.

Quale è dunque il suo significato?

Dall’analisi effettuata sui numerosi esempi che vengono presi in esame nello studio risulta che si può attribuirgliene uno se lo si considera una relazione di equivalenza fra due leggi di conservazione, una basata sui concetti di carica-campo intesi entrambi come oggetti matematici e l’altra sul concetto di variabile dinamica di campo che, una volta quantizzata, dà origine ai fotoni.                                                                                                                   (Notiamo che il concetto di fotone non esisteva ai tempi di Maxwell e quindi non dovrebbe essere usato in Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale, senonché, se lo ignoriamo, siamo costretti a ricorrere o all’etere, come ha fatto Maxwell, o all’idea che il campo e.m. sia un oggetto fisico, come ha fatto Einstein).

Alle due leggi di conservazione corrispondono due diversi modi di descrivere classicamente le interazioni elettromagnetiche (v. in particolare le pagg. 60-64 al termine del cap. 1 della Prima Parte dello studio citato), due modi che costituiscono la modifica dell’impianto generale dell’Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale di cui si parlava più sopra.                                                                                                                                            Uno è basato sull’idea di azione a distanza e l’altro sulle variabili dinamiche del campo di Maxwell.

Nella descrizione basata sull’azione a distanza il campo, che è considerato un oggetto matematico, si propaga con velocità finita, quella della luce, e la forza che agisce sulle cariche (anch’esse oggetti matematici) è la forza di Lorentz che è funzione dei campi elettrico e magnetico la cui evoluzione spaziotemporale è descritta dalle equazioni di Maxwell.                                                                                                                                      Nessuna ipotesi viene avanzata per spiegare fisicamente l’origine o giustificare fisicamente le modalità di propagazione di tale forza.

Nella descrizione basata sulle variabili dinamiche del campo di Maxwell l’interazione e.m. è dovuta allo scambio di fotoni scalari, longitudinali e trasversali, e non alla fisicità del campo elettromagnetico che, essendo un oggetto matematico, trasporta non l’energia e la quantità di moto elettromagnetici ma i rispettivi operatori che, opportunamente quantizzati, forniscono la descrizione dei fotoni responsabili dell’interazione.

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45. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon


La procedura di quantizzazione del campo di Klein-Gordon, che è scalare e complesso e che assumiamo non interagente con altri campi, permette di descrivere un sistema di particelle di uguale massa, non interagenti, non soggette a forze esterne e dotate di due diversi tipi di quella che convenzionalmente si usa indicare come “carica”, denominazione che può essere riferita non solo ai due tipi di carica elettrica, ma anche ad altre proprietà possedute da particelle elementari.

Le variabili dinamiche delle particelle che la quantizzazione individua come quanti del campo di Klein-Gordon possono essere definite servendosi del Principio di Corrispondenza (v. il punto 7. dello studio “Introduzione alla quantizzazione dei campi’’), ma riesce più agevole servirsi del Teorema di Nöther, che mette a disposizione definizioni di energia, momento, momento angolare, oltre che carica delle particelle-quanti del campo, uguali a quelle fornite dal Principio di Corrispondenza. Lo spin dei quanti del campo di Klein-Gordon è nullo.

In natura si osservano particelle (instabili) caratterizzate da due opposti tipi di carica elettrica e dotate di spin nullo: si tratta del mesone p positivo e del mesone p negativo.

Esiste anche un mesone p privo di carica e di spin che può essere descritto servendosi del campo scalare hermitiano (v. lo studio “Quantizzazione del campo scalare hermitiano’’).

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44. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo scalare hermitiano


In questo studio  viene presentata la procedura di quantizzazione del campo scalare hermitiano (o campo scalare reale).

Le variabili dinamiche tipiche di questo campo, ottenibili servendosi del Teorema di Nöther, sono l’energia, il momento e il momento angolare; lo spin è nullo perché il campo è scalare, la carica del campo è nulla perché il campo è reale.

Il campo scalare reale, opportunamente quantizzato, descrive un sistema di particelle identiche, non interagenti, non soggette a forze esterne e dotate delle medesime variabili dinamiche che caratterizzano il campo.

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43. Enrico Borghi – Introduzione alla quantizzazione dei campi


La procedura nota col nome di “quantizzazione dei campi” si propone di descrivere quantisticamente sistemi di particelle facendo uso di campi che potranno essere scalari, o vettoriali, o tensoriali, o bispinoriali, oltre che reali o complessi, ciascuno associabile a un tipo di particella.
La presentazione generale dei campi è in accordo con la Teoria della Relatività speciale, tuttavia nella procedura di quantizzazione compaiono concetti fisico-matematici definiti nello studio prerelativistico “Seconda quantizzazione” presente in “fisicarivisitata”. In particolare ricordiamo gli operatori di campo che, in accordo con quanto si è detto in quello studio, sono considerati dotati di commutatori definiti per tempi uguali.
Una loro estensione per tempi qualisivoglia, e quindi una loro descrizione pienamente relativistica da introdurre nel processo di quantizzazione, verrà presa in considerazione in uno studio futuro.
I campi ai quali ci interesseremo in questo studio non sono interagenti e le particelle da essi descritte sono libere.
La procedura della quantizzazione viene descritta come una sequenza di passi successivi; fra questi alcuni vengono commentati e precisati in modo più approfondito.

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42. Enrico Borghi – Seconda quantizzazione


Scopo di questo studio è presentare un metodo usato per descrivere sistemi di particelle, detto “Seconda quantizzazione”, sostitutivo di quello che si basa sull’equazione di Schrödinger (presentata nella sezione M del cap. 1 della Seconda Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica”), equazione che, come è noto, permette di calcolare la distribuzione di probabilità della posizione delle particelle del sistema nello spazio delle configurazioni.                                    Il metodo sostitutivo viene introdotto per far fronte ai problemi che sorgono quando si descrivono quantisticamente sistemi di particelle identiche.                                               Infatti quando si usa l’equazione di Schrödinger per descrivere fenomeni riguardanti sistemi di particelle identiche si deve tener conto del fatto che le traiettorie delle particelle non sono definite (v. il cap. 1 di questo studio) e quindi le particelle non sono distinguibili cosicché la descrizione fornita dalla meccanica di Schrödinger nello spazio delle configurazioni, cioè la probabilità che, in un certo istante, la particella 1 si trovi in un certo intorno 1 dello spazio, la particella 2 si trovi in un certo intorno 2….ecc., non può essere, in pratica, utilizzata.                                                                                                                          Quello che si può fare è determinare la probabilità che, in un certo istante, un certo numero di particelle che non siamo in grado di identificare occupi un certo intorno, un altro numero ne occupi un altro, ecc.                                                                                     Bisogna allora introdurre quello che viene detto lo “spazio dei numeri di occupazione”.     In esso la Meccanica di Schrödinger fornisce l’indicazione probabilistica di quante particelle identiche si trovano, in un certo istante, nell’intorno 1, quante nell’intorno 2, ecc…

Un altro motivo per cui, se si trattano sistemi di particelle, occorre abbandonare la Meccanica di Schrödinger nella sua formulazione abituale è dovuto al fatto che essa non può descrivere fenomeni di creazione e distruzione di particelle perché il numero di particelle di cui essa si occupa è  costante.                                                                                    Per descrivere fenomeni di creazione e distruzione si usa introdurre due operatori, detti “operatori di campo”, definiti in un nuovo spazio, detto “spazio di Fock”, che fornisce la base matematica adeguata.                                                                                                               Fra le proprietà degli operatori di campo ricordiamo la loro capacità di descrivere un sistema composto da un numero qualsivoglia di particelle identiche in funzione delle variabili dinamiche di una singola particella e, in particolare, si può mostrare che le equazioni che descrivono la dinamica degli operatori di campo sono simili alle equazioni di Schrödinger (nella funzione d’onda e nella sua complessa coniugata) per una singola particella.                                                                                                                                                 Si tratta ovviamente di una similitudine formale, dato che le suddette equazioni descrivono operatori, e non vettori come succede nell’equazione di Schrödinger, tuttavia, in pratica, possono essere ottenute introducendo nell’equazione di Schrödinger per una particella operatori di campo in sostituzione di vettori (rappresentati nelle coordinate o nei momenti).  Quest’ultima operazione è detta “Seconda quantizzazione”, intendendo che la “Prima quantizzazione” è quella nella quale le variabili dinamiche classiche sono sostituite da operatori.                                                                                                                                       Dunque la Seconda quantizzazione di un sistema di particelle identiche consiste di due sostituzioni consecutive a partire dall’hamiltoniana classica relativa a una sola particella.

La procedura della Seconda quantizzazione fornisce non solo i metodi per trattare sistemi di particelle identiche, ma mette a disposizione anche importanti concetti utili nella descrizione del processo di quantificazione dei campi, come potremo vedere in un prossimo studio.

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41. Enrico Borghi – Le variabili dinamiche del campo di Maxwell


In questo studio, proseguendo nell’esporre le modalità in cui, in accordo col Teorema di Nöther, a campi di varia natura possono essere associate variabili dinamiche, prendiamo in considerazione il campo elettromagnetico, o campo di Maxwell, che è vettoriale e reale e descrive particelle che sono prive di carica elettrica, hanno massa a riposo nulla e sono dotate di spin: si tratta dei fotoni. Dunque al campo di Maxwell, riprendendo sviluppi formali simili a quelli già adottati negli studi “Le variabili dinamiche del campo di Dirac” e “Le variabili dinamiche del campo scalare reale”, possono essere associati, applicando il teorema di Nöther, energia, momento e  momento angolare.

Caratteristiche del campo di Maxwell sono le cosiddette “condizioni di gauge” di cui si parla nel cap. 3 dello studio “Trasformazioni di gauge e meccanismo di Higgs”. Le relative problematiche verranno tuttavia prese in esame non in questo studio, ma durante le procedure di quantizzazione del campo di Maxwell.

Conviene infine sottolineare che gli studi, come questo, nei quali vengono definite le variabili dinamiche di vari tipi di campi, fanno ampio ricorso alla Meccanica di Lagrange e alla Meccanica di Hamilton entrambe presentate nella formulazione valida per i sistemi meccanici continui. Tali Meccaniche possono essere considerate una evoluzione delle corrispondenti Meccaniche per i sistemi discreti, cioè per i sistemi costituiti da particelle. Gli aspetti essenziali di entrambe, sia nella formulazione per sistemi discreti che per sistemi continui, sono stati presentati, in “fisicarivisitata”, in diversi studi che può essere utile ricordare e che vengono elencati qui sotto (qualche argomento, dopo essere stato presentato in  uno studio, è stato riproposto pressoché invariato in studi successivi, per comodità di lettura):

Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica

  • Appendice K                                                                                                                                       – Meccanica Lagrangiana                                                                                                                 – Il Principio di Hamilton per i sistemi conservativi                                                                  – Le equazioni di Lagrange dedotte dal Principio di Hamilton                                                – Meccanica Hamiltoniana
  • Appendice L                                                                                                                                        – Proprietà trasformazionali delle equazioni di Hamilton: le trasformazioni canoniche
  • Appendice M                                                                                                                                      – Metodi risolutivi delle equazioni di Hamilton. Equazione di Hamilton-Jacobi

Trasformazioni di gauge e meccanismo di Higgs

  • Appendice C                                                                                                                                       – Densità lagrangiana

Il Teorema di Nöther

  • Appendice A                                                                                                                                       – Il Principio di Hamilton per i sistemi conservativi
  • Appendice B                                                                                                                                       – 1. La Meccanica di Lagrange per i sistemi di particelle dedotta dal Principio di Hamilton                                                                                                                                             – 2. Leggi di conservazione della Meccanica di Lagrange dei sistemi di particelle
  • Appendice C                                                                                                                                       – La Meccanica di Lagrange per i sistemi continui dedotta dal Principio di Hamilton

Infine, in questo studio:

  • Appendice A                                                                                                                                       – Le equazioni di Hamilton per i sistemi continui
  • Appendice C                                                                                                                                       – Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange per i sistemi continui
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