50. Enrico Borghi – Diffusione di particelle in un campo di forze


In questo studio viene esaminato il fenomeno della diffusione (o dispersione, o scattering) di particelle da parte di un centro di forze.
Si tratta di un argomento assai vasto che qui viene affrontato con riferimento alla sola diffusione elastica, cioè ai fenomeni di diffusione nei quali le particelle non acquisiscono o non perdono energia.
Lo scenario nel quale tali fenomeni vengono analizzati è non-relativistico e comprende due sezioni: nella sezione A ci si riferisce alla Meccanica classica newtoniano/lagrangiana e nella sezione B si considera l’ambiente quantistico.
Una estensione relativistica verrà considerata in un prossimo futuro.
In Meccanica quantistica il fenomeno della diffusione può essere studiato sulla base della teoria della quantificazione dei campi (v. in “fisicarivisitata”, su questo argomento, alcuni studi riferiti a campi liberi, cioè non in interazione) oppure servendosi delle equazioni integrali basate sul concetto di propagatore (v. lo studio omonimo).
E’ a quest’ultimo metodo che faremo riferimento in questo studio che comprende anche alcune Appendici nelle quali vengono presentati i seguenti argomenti di supporto al tema principale:
Appendice A: Leggi di conservazione in Meccanica newtoniana;
Appendice B: Leggi di conservazione in Meccanica lagrangiana;
Appendice C: Analisi qualitativa del moto di una particella in regime di conservazione della energia totale;
Appendice D: Principio di Indeterminazione;
Appendice E: Descrizioni quantistiche della evoluzione temporale di un sistema meccanico.
Le prime tre Appendici sono di supporto allo studio della diffusione in ambito classico; nell’Appendice D viene mostrato come il Principio di Indeterminazione di Heisenberg può essere espresso in funzione delle regole di commutazione delle variabili dinamiche alle quali il Principio si riferisce; nell’Appendice E vengono presentate tre diverse descrizioni pre-relativistiche dei fenomeni quantistici: descrizione di Schrödinger, descrizione di interazione (o di Dirac) e descrizione di Heisenberg; viene inoltre mostrato in che modo, servendosi di trasformazioni unitarie, si può passare da una descrizione all’altra.

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49. Enrico Borghi – Propagatori


In questo studio, che fa riferimento alla Meccanica di Schrödinger, viene mostrato come si può ottenere la funzione d’onda associata a un sistema fisico risolvendo non la equazione differenziale di Schrödinger, ma servendosi di un oggetto matematico noto come “propagatore”: conoscendo il propagatore associato al sistema fisico e, in un certo istante iniziale, la funzione d’onda, si può ottenere la funzione d’onda in un qualunque istante successivo. Si può dire che il propagatore fa propagare la funzione d’onda da un istante a uno successivo.

L’espressione del propagatore si ottiene da una equazione integrale nella quale, nel caso più generale, compare un potenziale che dipende dal tempo, e questo obbliga a risolverla per approssimazioni successive.                                                                                                  Quali siano i vantaggi che si ottengono ricorrendo a questo metodo di calcolo di una funzione d’onda associata a un sistema fisico apparirà chiaramente nelle applicazioni che verranno considerate in studi futuri, nei quali verrà considerata anche una estensione relativistica (Relatività speciale) del concetto di propagatore.

Nelle due Appendici di questo studio vengono presentate, nella prima, alcune importanti proprietà formali della Meccanica di Schrödinger e, nella seconda, alcune brevi note sull’“integrale sui cammini” (o “integrale di percorso”), metodo proposto da Feynman per calcolare ampiezze di probabilità (R. P. Feynman, “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics”, Rev. of Mod. Phys., 20, 367 (1948)) che si basa sul concetto di propagatore.

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48. Enrico Borghi – Commutatori covarianti


I campi che in “fisicarivisitata” sono stati sottoposti a quantizzazione, cioè il campo scalare hermitiano, il campo scalare non hermitiano (campo di Klein-Gordon), il campo vettoriale reale (campo di Maxwell) e il campo bispinoriale (campo di Dirac) rappresentano solo alcune delle possibili applicazioni di un metodo generale, il metodo della quantizzazione dei campi, che permette di associare a un campo dotato di specifiche proprietà matematiche un sistema di particelle dotate di specifiche proprietà quantistiche.

Un passaggio fondamentale della procedura di quantizzazione (v. lo studio “Introduzione alla quantizzazione dei campi”) è la determinazione delle regole di commutazione o anticommutazione degli operatori di campo di cui sono funzione gli operatori associati alle variabili dinamiche di ciascun campo. Tali regole sono state specificate, nei quattro studi citati, per operatori di campo considerati a tempi uguali cosicché le regole di commutazione/anticommutazione non sono relativisticamente covarianti (Teoria della Relatività speciale).                                                                                                                              In questo studio tali regole vengono riprese e presentate, per il campo scalare hermitiano e per il campo di Klein-Gordon, in modalità interamente covariante.

Le regole di commutazione covariante per i campi di Maxwell e di Dirac verranno presentate in un altro studio.

 

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47. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Dirac


Questo è l’ultimo di quattro studi dedicati a campi fisico-matematici di diversa natura ai quali è stata applicata la procedura di quantizzazione delineata in “Introduzione alla quantizzazione dei campi”.                                                                                                                Gli studi sono:                                                                                                                                          – Quantizzazione del campo scalare hermitiano                                                                               – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon (campo scalare non hermitiano)                        – Quantizzazione del campo di Maxwell (campo vettoriale e reale)                                              – Quantizzazione del campo di Dirac (campo bispinoriale)                                                           I quanti del campo scalare hermitiano descrivono particelle dotate di massa ma prive di carica elettrica e di spin; i quanti del campo di Klein-Gordon descrivono particelle dotate di massa e carica elettrica ma prive di spin; i quanti del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) descrivono i fotoni, particelle prive di massa e di carica elettrica ma dotate di spin; i quanti del campo di Dirac descrivono gli elettroni e i positroni, dotati di massa, carica elettrica e spin.

La quantizzazione dei campi è uno strumento flessibile ed efficace ma allo stesso tempo è un argomento vasto e complicato perché la sua presentazione richiede apporti, oltre che dalla Meccanica quantistica, anche dal Teorema di Nöther e dalla Relatività speciale. Questo spiega perché in “fisicarivisitata” la quantizzazione dei campi è stata presentata soprattutto come una raccolta di esempi particolari di applicazione di un metodo, nel senso che nessuna delle procedure di quantizzazione sopraelencate è stata proposta nella sua completezza. Infatti di ciascuna sono state prese in esame solo alcune variabili dinamiche, come l’energia e/o la carica del campo e inoltre le particelle descritte dalle quantizzazioni che sono state considerate sono state assunte non interagenti e non soggette a campi esterni, e infine le quantizzazioni riguardano operatori associati a variabili dinamiche definite in ambito relativistico (Relatività speciale), ma i commutatori degli operatori di campo di cui tali operatori sono funzioni vengono definiti per tempi uguali e perciò non sono relativisticamente invarianti in forma.                                           Una estensione a commutatori relativisticamente covarianti verrà presentata in un prossimo studio.                                                                                                                                    E’ stato tuttavia dato risalto a condizioni accessorie, necessarie per rendere fisicamente accettabili i risultati di alcune procedure di quantizzazione, come la condizione di Lorenz per il campo di Maxwell e le regole di anticommutazione per gli operatori del campo di Dirac.                                                                                                                                                      Un aspetto che riguarda tutti campi considerati è la comparsa di infiniti che sono connessi con la presenza del vuoto fisico.

Ciò posto, esaminiamo più in dettaglio la quantizzazione del campo di Dirac.

Un importante risultato di questa procedura, che descrive fermioni (particelle con spin semiintero), è che, se si vuole renderla fisicamente accettabile, per gli operatori del campo di Dirac occorre introdurre regole di anticommutazione, mentre, come ricordiamo, per gli operatori del campo di Maxwell, che descrive bosoni (particelle con spin intero), valgono regole di commutazione.                                                                                                                     Se ne ricava, per gli operatori di campo, la seguente conclusione valida in generale: occorre usare regole di commutazione per i bosoni (ad es.: i fotoni), e regole di anticommutazione per i fermioni (ad es.: gli elettroni, i positroni, i neutroni, i protoni).

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46. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Maxwell


Come si è fatto notare descrivendo le procedure di quantizzazione del campo scalare hermitiano e del campo di Klein-Gordon, lo studio di base da tenere presente in questo tipo di studi, in cui viene considerata la quantizzazione di un campo, è la “Introduzione alla quantizzazione dei campi” di cui dunque ci serviremo anche per la quantizzazione del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) e faremo inoltre uso, come nei due precedenti, di risultati ottenuti dal Teorema di Nöther. Tali risultati sono stati presentati nello studio “Le variabili dinamiche del campo di Maxwell”.                                                    Un aspetto da sottolineare nella procedura di quantizzazione del campo di Maxwell sta nel fatto che, come viene detto a pag. 6 dello studio “Le variabili dinamiche del campo di Maxwell”, le “equazioni del moto” del campo, che sono espresse nel 4-potenziale elettromagnetico relativistico, sono state ottenute senza introdurre la condizione di Lorenz (v. la pag. 11 dello studio “Trasformazioni di gauge e meccanismo di Higgs”) e questo fatto dà origine, in sede di quantizzazione, a tre tipi di fotoni: scalari, longitudinali e trasversali dotati di una energia che non è definita positiva.                                                     Introducendo (in modo quantisticamente opportuno) la condizione di Lorenz si ottiene di eliminare i fotoni longitudinali e scalari mantenendo invariato il contributo dei fotoni trasversali (detti anche fotoni reali), ai quali la detta condizione associa una energia definita positiva.                                                                                                                                    Si ritrova così uno scenario quantistico corrispondente alla dinamica maxwelliana del campo e.m. libero, mentre nel caso di campi statici occorre tener conto anche dei fotoni scalari e longitudinali introducendo il concetto di fotone virtuale che sarà descritto in un prossimo studio.

I fotoni (scalari, longitudinali e trasversali) sono le uniche realtà fisiche responsabili delle interazioni elettromagnetiche che dunque non sono né mediate dall’etere né sostenute dal campo elettromagnetico perché l’etere non esiste e il campo e.m. è un oggetto matematico, non un oggetto fisico.                                                                                                                         Ma avanzare l’idea che il campo e.m. non sia un oggetto fisico comporta non trascurabili conseguenze a carico dell’impianto generale dell’Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale. Di questo si parla a lungo nel cap. 1 della Prima Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica” dove, rimanendo in ambito classico, viene messo in evidenza il fatto che se il campo e.m. è un oggetto fisico, come abitualmente si ritiene, allora il Teorema di Poynting non può essere una legge di conservazione dell’energia elettromagnetica.

Quale è dunque il suo significato?

Dall’analisi effettuata sui numerosi esempi che vengono presi in esame nello studio risulta che si può attribuirgliene uno se lo si considera una relazione di equivalenza fra due leggi di conservazione, una basata sui concetti di carica-campo intesi entrambi come oggetti matematici e l’altra sul concetto di variabile dinamica di campo che, una volta quantizzata, dà origine ai fotoni.                                                                                                                   (Notiamo che il concetto di fotone non esisteva ai tempi di Maxwell e quindi non dovrebbe essere usato in Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale, senonché, se lo ignoriamo, siamo costretti a ricorrere o all’etere, come ha fatto Maxwell, o all’idea che il campo e.m. sia un oggetto fisico, come ha fatto Einstein).

Alle due leggi di conservazione corrispondono due diversi modi di descrivere classicamente le interazioni elettromagnetiche (v. in particolare le pagg. 60-64 al termine del cap. 1 della Prima Parte dello studio citato), due modi che costituiscono la modifica dell’impianto generale dell’Elettromagnetismo maxwelliano tradizionale di cui si parlava più sopra.                                                                                                                                            Uno è basato sull’idea di azione a distanza e l’altro sulle variabili dinamiche del campo di Maxwell.

Nella descrizione basata sull’azione a distanza il campo, che è considerato un oggetto matematico, si propaga con velocità finita, quella della luce, e la forza che agisce sulle cariche (anch’esse oggetti matematici) è la forza di Lorentz che è funzione dei campi elettrico e magnetico la cui evoluzione spaziotemporale è descritta dalle equazioni di Maxwell.                                                                                                                                      Nessuna ipotesi viene avanzata per spiegare fisicamente l’origine o giustificare fisicamente le modalità di propagazione di tale forza.

Nella descrizione basata sulle variabili dinamiche del campo di Maxwell l’interazione e.m. è dovuta allo scambio di fotoni scalari, longitudinali e trasversali, e non alla fisicità del campo elettromagnetico che, essendo un oggetto matematico, trasporta non l’energia e la quantità di moto elettromagnetici ma i rispettivi operatori che, opportunamente quantizzati, forniscono la descrizione dei fotoni responsabili dell’interazione.

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45. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon


La procedura di quantizzazione del campo di Klein-Gordon, che è scalare e complesso e che assumiamo non interagente con altri campi, permette di descrivere un sistema di particelle di uguale massa, non interagenti, non soggette a forze esterne e dotate di due diversi tipi di quella che convenzionalmente si usa indicare come “carica”, denominazione che può essere riferita non solo ai due tipi di carica elettrica, ma anche ad altre proprietà possedute da particelle elementari.

Le variabili dinamiche delle particelle che la quantizzazione individua come quanti del campo di Klein-Gordon possono essere definite servendosi del Principio di Corrispondenza (v. il punto 7. dello studio “Introduzione alla quantizzazione dei campi’’), ma riesce più agevole servirsi del Teorema di Nöther, che mette a disposizione definizioni di energia, momento, momento angolare, oltre che carica delle particelle-quanti del campo, uguali a quelle fornite dal Principio di Corrispondenza. Lo spin dei quanti del campo di Klein-Gordon è nullo.

In natura si osservano particelle (instabili) caratterizzate da due opposti tipi di carica elettrica e dotate di spin nullo: si tratta del mesone p positivo e del mesone p negativo.

Esiste anche un mesone p privo di carica e di spin che può essere descritto servendosi del campo scalare hermitiano (v. lo studio “Quantizzazione del campo scalare hermitiano’’).

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44. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo scalare hermitiano


In questo studio  viene presentata la procedura di quantizzazione del campo scalare hermitiano (o campo scalare reale).

Le variabili dinamiche tipiche di questo campo, ottenibili servendosi del Teorema di Nöther, sono l’energia, il momento e il momento angolare; lo spin è nullo perché il campo è scalare, la carica del campo è nulla perché il campo è reale.

Il campo scalare reale, opportunamente quantizzato, descrive un sistema di particelle identiche, non interagenti, non soggette a forze esterne e dotate delle medesime variabili dinamiche che caratterizzano il campo.

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