58. Enrico Borghi – La diffrazione degli elettroni


In questo studio viene presentata l’ipotesi formulata da de Broglie nel 1924 sulla natura ondulatoria della materia.

L’ipotesi prende l’avvio dalla constatazione che alle onde luminose possono essere associati quanti di radiazione (ovvero i fotoni messi in evidenza dall’effetto Compton), constatazione che de Broglie propone di estendere, invertendola, alle particelle materiali assumendo che ad ogni particella possa essere associata un’onda dotata di una frequenza legata all’energia della particella e di un numero d’onde legato al momento della particella. Qualche anno più tardi (1927) l’ipotesi di de Broglie si mostrava adatta a spiegare il risultato di un esperimento condotto da C. Davisson e L. Germer nel quale un fascio di elettroni inviato attraverso una lastra di cristallo di nichel dava origine a figure di diffrazione, non diversamente da quanto succede facendo attraversare la lastra da radiazione elettromagnetica (raggi X).                                                                                  Dunque un fascio di elettroni si comporta, in alcune circostanze, come se, invece che di particelle, fosse costituito da onde.                                                                                             Della esistenza di questo modo di presentarsi delle particelle di materia non si ha percezione nella Meccanica dei corpi macroscopici perché esso si manifesta quando la lunghezza d’onda associata al corpo è dello stesso ordine di grandezza degli ostacoli che causano la diffrazione, e per un ordinario corpo macroscopico tale lunghezza d’onda è estremamente piccola, più piccola (di molti ordini di grandezza) di una tipica distanza atomica, che è dell’ordine dell’angstrom.

Rimane da precisare quale è il significato delle onde associate alle particelle.

Negli anni 1925-26 l’intuizione di de Broglie prende corpo nella Meccanica di Schrödinger e nella associata equazione di Schrödinger che, una volta risolta, fornisce la cosiddetta funzione d’onda, che può essere riferita o alla posizione o al momento di una particella. Tale funzione viene interpretata come ampiezza di probabilità di posizione o di momento di una particella e il quadrato del modulo dell’ampiezza di probabilità fornisce la densità di probabilità di posizione o di momento di una particella (Max Born, 1926).              Dunque le onde associate alle particelle sono onde di probabilità.

Una presentazione del modo in cui questo concetto si è fatto strada in Meccanica di Schrödinger si trova nel paragrafo 1.2.7 della Seconda Parte dello studio “Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica”.

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57. Enrico Borghi – L’effetto Compton


L’effetto Compton si manifesta nei fenomeni in cui radiazione elettromagnetica (raggi X o raggi gamma) viene diffusa attraverso un corpo materiale, ad esempio una lamina di grafite.                                                                                                                                                     La radiazione interagisce con la struttura elettronica del corpo uscendone con una lunghezza d’onda che risulta essere maggiore della lunghezza d’onda in ingresso di una quantità che dipende dalla direzione dei raggi di uscita rispetto alla direzione dei raggi di ingresso.                                                                                                                                              Non vi è modo di spiegare questo fenomeno basandosi sull’Elettromagnetismo maxwelliano.                                                                                                                                        Nel 1923 A. Compton riprese una assunzione di Einstein riguardante la natura della radiazione e.m. formulata nel corso di un suo studio sul fenomeno fotoelettrico, nel quale ipotizzò che tale radiazione dovesse essere considerata non un oggetto fisico continuo, ma un flusso discreto di quanti, che ora conosciamo come fotoni, dotati di una frequenza uguale a quella della radiazione.                                                                                             Compton osservò che, se la diffusione della radiazione in attraversamento del corpo poteva essere considerata una conseguenza dell’urto di fotoni contro gli elettroni della struttura atomica della sostanza, la spiegazione del fenomeno poteva essere data con facilità.    Infatti bastava pensare che un fotone, urtando contro un elettrone, gli comunicasse parte della sua energia che così subiva una diminuzione. Ma l’energia di un fotone è data dal prodotto della costante di Planck per la frequenza del fotone: una diminuzione di energia causa una diminuzione di frequenza e quindi dà origine a un aumento della lunghezza d’onda, come l’esperienza mostra.                                                                                         L’analisi dettagliata del fenomeno basata sulla legge di conservazione relativistica della somma dei quadrivettori energia-momento di un fotone e di un elettrone considerata prima e dopo l’urto, permette di ritrovare nel modo più soddisfacente ogni aspetto di ciò che l’esperienza mostra.                                                                                                             Dunque quello che ora viene chiamato effetto Compton dà una conferma precisa e convincente della esistenza dei fotoni ipotizzati da Einstein. La radiazione e.m. risulta essere costituita di quanti non solo quando interagisce con la materia, ma anche quando si sposta nel vuoto alla velocità della luce.

Infine notiamo che sia l’effetto Compton sia l’effetto fotoelettrico, esaminato nello studio omonimo presente in “fisicarivisitata”, riguardano le conseguenze dell’urto di un fotone contro la struttura elettronica della materia.                                                                               Può essere interessante mettere in evidenza le differenze fra i due urti.                        Quando un fotone urta contro un elettrone scarsamente legato a un atomo e pressoché fermo (se lo si confronta col fotone) si ha l’effetto Compton se il fotone è così energetico (radiazione X o gamma) che non può essere assorbito dall’elettrone perché non verrebbe soddisfatta la condizione della conservazione dell’energia-momento delle due particelle (v. l’Appendice), e non si ha l’effetto Compton se il fotone urta contro un elettrone strettamente legato perché la differenza fra la lunghezza d’onda in uscita e la lunghezza d’onda in ingresso è inversamente proporzionale alla massa dell’atomo contro cui il fotone va, di fatto, a collidere e questo rende tale differenza prossima a zero; si ha l’effetto fotoelettrico se il fotone è meno energetico (radiazione ultravioletta o visibile) e può essere assorbito da un elettrone legato cosicché se la frequenza del fotone è superiore alla frequenza di soglia si ha espulsione dell’elettrone.

 

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56. Enrico Borghi – L’effetto fotoelettrico


Lo studio dello spettro del corpo nero ha introdotto a fianco dei metodi della Fisica newtoniana e maxwelliana un nuovo modo di indagare su alcuni fenomeni naturali, un modo che parte dalla constatazione che gli oggetti fisici sembrano possedere caratteristiche che dipendono dall’esperimento nel quale gli oggetti sono coinvolti.   Questo fatto è stato osservato nella radiazione elettromagnetica, che sembra essere costituita da onde se osserviamo fenomeni come la diffrazione e l’interferenza, mentre sembra operare per “quanti” discreti se studiamo l’interazione fra la materia e la radiazione contenuta in una cavità termostatabile basandoci sulla Teoria di Planck, la cui efficacia nella descrizione della suddetta interazione è stata mostrata nello studio sullo spettro del corpo nero presente in “fisicarivisitata”.

Un altro fenomeno che mette in gioco la dualità discreto-continuo e che è noto come effetto fotoelettrico è stato osservato nel 1887 da Hertz che, avendo fatto incidere radiazione elettromagnetica visibile sulla superficie di alcuni metalli alcalini, ha potuto constatare che tali metalli emettono elettroni con modalità che non è possibile spiegare facendo riferimento alle proprietà ondulatorie della radiazione.                                             Nel 1905 Einstein, basandosi su un metodo simile a quello usato da Planck nello studio dello spettro del corpo nero, non solo ottiene di descrivere il fenomeno dell’interazione fra radiazione e materia in modo del tutto soddisfacente, ma avanza anche la supposizione che l’energia della radiazione consista di quanti anche quando la radiazione si sposta nello spazio.                                                                                                                                                        I quanti di luce, che avrebbero in seguito preso il nome di fotoni, possiedono ciascuno un’energia calcolabile come prodotto della frequenza della radiazione per la costante di Planck.                                                                                                                                          L’effetto fotoelettrico è dunque un fenomeno causato da fotoni incidenti sul metallo che urtano contro gli elettroni presenti nel metallo.

Quale immagine fisica si può avere di un fotone non è precisabile, tuttavia si può mostrare che questo quanto di radiazione, non diversamente da una ordinaria particella elementare, possiede energia e quantità di moto nettamente precisabili e quindi la assunzione che possa essere considerato come una particella appare essere dotata di un saldo fondamento.

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55. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero: teoria di Planck


Nella teoria elaborata da Planck nell’anno 1900 per risolvere il problema dello spettro del corpo nero (v. l’Introduzione dello studio “Lo spettro del corpo nero: determinazione sperimentale”) si distinguono due fasi.                                                                                      Nella prima Planck cerca di ottenere una espressione matematica della famiglia di curve rappresentative dello spettro di emissione del corpo nero interpolando fra le due proposte esistenti alla fine del 1800, cioè la proposta di Rayleigh-Jeans, approssimativamente accettabile per basse frequenze, e la proposta di Wien, approssimativamente accettabile per alte frequenze.                                                                                                        L’interpolazione fornisce un risultato soddisfacente: la famiglia delle curve calcolate, dopo essere stata calibrata mediante l’introduzione di una opportuna costante determinata sperimentalmente e avente le dimensioni di un’azione, riproduce con precisione la famiglia delle curve ottenute per via sperimentale.

Nella seconda fase Planck cerca, sulla base dei Principi della Meccanica statistica così come erano conosciuti ai suoi tempi, di giustificare dal punto di vista della Fisica la forma delle curve di cui, come si è detto, aveva potuto ottenere una precisa descrizione matematica.                                                                                                                                L’analisi di Planck consiste in un confronto fra l’espressione, fornita dalla Termodinamica, dell’entropia della radiazione contenuta in una cavità dotata di un piccolo foro rappresentativo di un corpo nero e l’espressione, fornita dalla Meccanica statistica, dell’entropia di un insieme discreto di oscillatori, che si può dimostrare essere formalmente equivalente alla radiazione nella cavità. Planck assume che l’insieme degli oscillatori sia dotato di una energia che egli definisce come un multiplo intero di una quantità finita di energia minima.                                                                                                      Il confronto fra le due entropie mostra che l’energia minima è proporzionale alla frequenza di ogni oscillatore. Il fattore di proporzionalità, che ora chiamiamo “costante di Planck”, ha le dimensioni di una azione e un oscillatore non può avere altra energia che non sia un multiplo intero di questa quantità di energia minima.

Dunque una quantità introdotta con lo scopo di ottenere dalla Meccanica statistica una espressione dell’entropia di un insieme discreto di oscillatori mostra di avere un significato nuovo e del tutto inatteso.                                                                                              Lo stesso Planck non si è reso conto di essersi affacciato su un territorio mai esplorato in precedenza dalla Fisica.                                                                                                                       Se ne è invece reso conto Einstein che, alcuni anni dopo la pubblicazione dello studio di Planck, ha presentato la sua soluzione del problema della forma delle curve dello spettro del corpo nero partendo dall’idea che l’energia di un oscillatore sia espressa da  un multiplo intero di una quantità elementare proporzionale alla frequenza dell’oscillatore.

E’ dallo sviluppo di queste premesse che prende avvio la Meccanica quantistica.

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54. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero secondo la Meccanica statistica


In questo studio viene presentato il tentativo fatto dai fisici della seconda metà dell’‘800 di spiegare la forma delle curve ottenute sperimentalmente per lo spettro del corpo nero servendosi delle leggi della Meccanica statistica.                                                                     Punto di partenza è la descrizione dell’energia della radiazione termica in una cavità come quella di un sistema di infinite coppie di oscillatori 3-dimensionali non interagenti, essendo la frequenza di ciascun oscillatore definita da una terna di numeri interi.              Di questo modo di descrivere l’energia della radiazione termica in una cavità si parla nella Appendice A dello studio “Le variabili dinamiche del campo di Maxwell’’.                            Gli oscillatori aventi frequenza compresa in un intervallo associabile al sistema fisico in esame vengono dapprima contati, poi il loro numero viene moltiplicato per l’energia media di ogni oscillatore.

Quest’ultima viene determinata, nei modi in cui si usava farlo nella seconda metà dell’‘800, nelle Appendici C e D di questo studio. Il risultato è una descrizione matematica delle curve dello spettro del corpo nero che si avvicina alle curve sperimentali solo per piccoli valori della frequenza.

Dunque il tentativo non ha avuto successo.

Appendici:

Appendice A – Meccanica statistica.

                          Teoria cinetica dei gas;

                          Legge di Joule-Clausius;

                          Insieme statistico;

                          Teorema di Liouville;  

                           Ipotesi ergodica;

                           Ipotesi delle uguale probabilità a priori;

                           Insieme microcanonico; insieme canonico; insieme grancanonico.

 Appendice B – Legge di distribuzione di probabilità di Boltzmann (o canonica)

Appendice C – La legge di Boltzmann per la distribuzione delle velocità, dei  momenti                                delle energie. Calcolo di valori medi.  Grandezze termodinamiche                            in  Meccanica statistica.

                           Indice di occupazione;

                           Fattore di Boltzmann.

 Appendice D – Teorema di equipartizione dell’energia.

Appendice E – Calore specifico di un corpo.

                           Legge di Dulong-Petit.

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53. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero secondo la Termodinamica


In questo studio viene presentato il tentativo fatto dalla Fisica della seconda metà dell’‘800 di fornire una giustificazione teorica della forma delle curve dello spettro del corpo nero, ottenute sperimentalmente, facendo uso dei Principi della Termodinamica, disciplina a quei tempi già saldamente affermata.

La Termodinamica si occupa, come è noto, di trasformazioni calore/lavoro, e viceversa, che avvengono in sistemi fisici descritti da variabili macroscopiche come il volume, la pressione, la temperatura, l’energia, l’entropia, il calore specifico,…                                        E’ proprio questa la situazione in cui si trova il sistema fisico costituito dalla radiazione elettromagnetica termica contenuta in una cavità termostatabile in una parete della quale è presente un piccolo foro che si può assumere sia dotato delle proprietà di un corpo nero. Infatti la radiazione occupa uno spazio circoscritto, quello misurato dal volume della cavità, e possiede energia elettromagnetica.                                                                          Inoltre la radiazione, che viene considerata in condizioni di equilibrio termodinamico, è generata nella cavità dal moto delle particelle elementari elettricamente cariche presenti nelle pareti della cavità mantenuta a una temperatura prestabilita, pareti che sono quindi soggette sia ad emissione che ad assorbimento di energia e.m. in quantità dipendente dalla temperatura.                                                                                                                                         La teoria elettromagnetica maxwelliana ci fa anche sapere che la radiazione esercita una pressione di radiazione contro le pareti della cavità nella quale la radiazione è presente. Dunque, in accordo con quanto si diceva più sopra, possiamo assumere che sia lecito studiare le proprietà fisiche della radiazione termica contenuta in una cavità facendo uso della Termodinamica che, con riferimento a questa circostanza, viene talvolta denominata “Termodinamica della radiazione”.

I risultati che lo studio ci offre sono attendibili perché si può verificare che riproducono alcuni aspetti dei dati sperimentali, ma non sono sufficientemente dettagliati, cosicché non è possibile farne uso per ottenere la soluzione completa del problema della forma delle curve dello spettro del corpo nero.                                                                                                   La loro utilità sta nel fatto che la soluzione di questo problema, quando verrà trovata, dovrà concordare con tutto ciò che si è appreso dalla Termodinamica della radiazione, che quindi rimane un punto di riferimento sicuro di cui si deve necessariamente tenere conto.

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52. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero: determinazione sperimentale


In questo studio si esaminano alcune caratteristiche del fenomeno dello scambio, fra corpi materiali, di radiazione elettromagnetica termica.                                                                     Tale scambio costituisce una delle tre possibili modalità in cui può avvenire la trasmissione di calore fra i corpi: radiazione, convezione e conduzione.

Lo studio è diviso in due parti.

Nella prima, che ha carattere introduttivo, vengono definite alcune grandezze riguardanti il fenomeno dello scambio, che consiste nell’assorbimento e nella emissione di radiazione termica (detta anche “calore raggiante”) da parte della materia e vengono in particolare presentate:                                                                                                                                                – le proprietà di assorbimento/emissione di radiazione termica dei corpi materiali in condizioni di equilibrio termodinamico;                                                                                            – le proprietà di assorbimento/emissione di radiazione termica del cosiddetto “corpo nero”;                                                                                                                                                         – una importante proprietà dell’energia della radiazione termica contenuta, in condizioni di equilibrio termodinamico, in una cavità mantenuta a una temperatura prestabilita;         – una procedura per stabilire una relazione fra la potenza della radiazione emessa dal corpo nero costituito da un piccolo foro praticato nella parete di una cavità contenente radiazione termica in condizioni di equilibrio termodinamico e l’energia di tale radiazione termica.

Nella seconda parte vengono illustrati i risultati delle misure della potenza della radiazione emessa da un corpo nero, effettuate nella seconda metà dell’‘800 e culminate con i dati sperimentali, molto precisi, ottenuti da O. Lummer ed E. Pringsheim (1899).                      Le misure forniscono una famiglia di curve, parametrate dalla temperatura, rappresentative del potere emissivo del corpo nero espresso in funzione della lunghezza d’onda (o della frequenza) della radiazione termica.

La famiglia di curve ha dato origine a un problema rimasto per qualche tempo irrisolto. Infatti la Fisica della seconda metà dell’‘800 non è riuscita a spiegare quale legge, o quale principio, o quale scenario di filosofia naturale occorre invocare per giustificare da un punto di vista teorico la forma di queste curve.

Negli studi che in “fisicarivisitata” saranno pubblicati in successione, dopo questo, verranno descritti i tentativi fatti dai fisici di quell’epoca, tentativi non risolutivi del problema ma che è comunque utile conoscere, e verrà infine descritto il successo ottenuto nell’anno 1900 da Planck, successo che può essere considerato il passo iniziale che ha condotto alla creazione di un nuovo scenario di filosofia naturale, quello della Meccanica quantistica.

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