53. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero secondo la Termodinamica


In questo studio viene presentato il tentativo fatto dalla Fisica della seconda metà dell’‘800 di fornire una giustificazione teorica della forma delle curve dello spettro del corpo nero, ottenute sperimentalmente, facendo uso dei Principi della Termodinamica, disciplina a quei tempi già saldamente affermata.

La Termodinamica si occupa, come è noto, di trasformazioni calore/lavoro, e viceversa, che avvengono in sistemi fisici descritti da variabili macroscopiche come il volume, la pressione, la temperatura, l’energia, l’entropia, il calore specifico,…                                        E’ proprio questa la situazione in cui si trova il sistema fisico costituito dalla radiazione elettromagnetica termica contenuta in una cavità termostatabile in una parete della quale è presente un piccolo foro che si può assumere sia dotato delle proprietà di un corpo nero. Infatti la radiazione occupa uno spazio circoscritto, quello misurato dal volume della cavità, e possiede energia elettromagnetica.                                                                          Inoltre la radiazione, che viene considerata in condizioni di equilibrio termodinamico, è generata nella cavità dal moto delle particelle elementari elettricamente cariche presenti nelle pareti della cavità mantenuta a una temperatura prestabilita, pareti che sono quindi soggette sia ad emissione che ad assorbimento di energia e.m. in quantità dipendente dalla temperatura.                                                                                                                                         La teoria elettromagnetica maxwelliana ci fa anche sapere che la radiazione esercita una pressione di radiazione contro le pareti della cavità nella quale la radiazione è presente. Dunque, in accordo con quanto si diceva più sopra, possiamo assumere che sia lecito studiare le proprietà fisiche della radiazione termica contenuta in una cavità facendo uso della Termodinamica che, con riferimento a questa circostanza, viene talvolta denominata “Termodinamica della radiazione”.

I risultati che lo studio ci offre sono attendibili perché si può verificare che riproducono alcuni aspetti dei dati sperimentali, ma non sono sufficientemente dettagliati, cosicché non è possibile farne uso per ottenere la soluzione completa del problema della forma delle curve dello spettro del corpo nero.                                                                                                   La loro utilità sta nel fatto che la soluzione di questo problema, quando verrà trovata, dovrà concordare con tutto ciò che si è appreso dalla Termodinamica della radiazione, che quindi rimane un punto di riferimento sicuro di cui si deve necessariamente tenere conto.

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52. Enrico Borghi – Lo spettro del corpo nero: determinazione sperimentale


In questo studio si esaminano alcune caratteristiche del fenomeno dello scambio, fra corpi materiali, di radiazione elettromagnetica termica.                                                                     Tale scambio costituisce una delle tre possibili modalità in cui può avvenire la trasmissione di calore fra i corpi: radiazione, convezione e conduzione.

Lo studio è diviso in due parti.

Nella prima, che ha carattere introduttivo, vengono definite alcune grandezze riguardanti il fenomeno dello scambio, che consiste nell’assorbimento e nella emissione di radiazione termica (detta anche “calore raggiante”) da parte della materia e vengono in particolare presentate:                                                                                                                                                – le proprietà di assorbimento/emissione di radiazione termica dei corpi materiali in condizioni di equilibrio termodinamico;                                                                                            – le proprietà di assorbimento/emissione di radiazione termica del cosiddetto “corpo nero”;                                                                                                                                                         – una importante proprietà dell’energia della radiazione termica contenuta, in condizioni di equilibrio termodinamico, in una cavità mantenuta a una temperatura prestabilita;         – una procedura per stabilire una relazione fra la potenza della radiazione emessa dal corpo nero costituito da un piccolo foro praticato nella parete di una cavità contenente radiazione termica in condizioni di equilibrio termodinamico e l’energia di tale radiazione termica.

Nella seconda parte vengono illustrati i risultati delle misure della potenza della radiazione emessa da un corpo nero, effettuate nella seconda metà dell’‘800 e culminate con i dati sperimentali, molto precisi, ottenuti da O. Lummer ed E. Pringsheim (1899).                      Le misure forniscono una famiglia di curve, parametrate dalla temperatura, rappresentative del potere emissivo del corpo nero espresso in funzione della lunghezza d’onda (o della frequenza) della radiazione termica.

La famiglia di curve ha dato origine a un problema rimasto per qualche tempo irrisolto. Infatti la Fisica della seconda metà dell’‘800 non è riuscita a spiegare quale legge, o quale principio, o quale scenario di filosofia naturale occorre invocare per giustificare da un punto di vista teorico la forma di queste curve.

Negli studi che in “fisicarivisitata” saranno pubblicati in successione, dopo questo, verranno descritti i tentativi fatti dai fisici di quell’epoca, tentativi non risolutivi del problema ma che è comunque utile conoscere, e verrà infine descritto il successo ottenuto nell’anno 1900 da Planck, successo che può essere considerato il passo iniziale che ha condotto alla creazione di un nuovo scenario di filosofia naturale, quello della Meccanica quantistica.

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51. Enrico Borghi – Diffusione di un elettrone in un campo e.m. esterno. Diagrammi di Feynman


In questo studio viene descritta la diffusione di un elettrone in un campo elettromagnetico esterno.                                                                                                                                                   La descrizione si basa su diversi metodi e procedure delineati in questi due studi pre-relativistici presenti in “fisicarivisitata”:

– “Propagatori”: contiene la definizione del concetto di propagatore, oggetto matematico usato, in questo studio, per integrare l’equazione di Schrödinger. Lo studio fa riferimento al caso generale in cui l’hamiltoniana del sistema meccanico in esame è funzione di una energia potenziale che dipende esplicitamente dal tempo cosicché la funzione d’onda assume la forma di uno sviluppo in serie; nell’Appendice B  viene introdotta la definizione di propagatore per un sistema meccanico la cui hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo.

– “Diffusione di particelle in un campo di forze”: è una applicazione a un caso pratico di quanto è stato presentato nello studio “Propagatori”. Contiene, oltre alla descrizione classica (cioè pre-relativistica e pre-quantistica) del fenomeno della diffusione, anche la definizione quantistica di diffusione basata sul concetto di ampiezza di probabilità di transizione e la procedura per determinare tale ampiezza mediante uno sviluppo in serie.

In entrambi questi studi viene introdotto il concetto di integrale sui cammini (o integrale di percorso) che fa riferimento a un modo di presentare la Meccanica quantistica diverso da quello di Schrödinger (o da quello di Heisenberg).                                                                  In Meccanica di Schrödinger, nota l’ampiezza di probabilità di trovare una particella in un certo punto e in un certo istante, è possibile determinare tale ampiezza in un istante vicino.                                                                                                                                                      In Meccanica quantistica basata sul concetto di integrale di percorso si assume che una particella percorra ogni possibile tragitto compreso fra due punti e l’ampiezza di probabilità viene determinata sommando (integrando) su tutti i percorsi.

Veniamo ora allo studio presente, che è un esempio di applicazione e sviluppo di quanto si è detto in “Diffusione di particelle in un campo di forze”.                                                            Si considera un elettrone in un campo e.m., si passa dalla presentazione pre-relativistica a quella relativistica (bispinori in luogo di scalari), si introduce l’interpretazione di Feynman degli stati ad energia negativa (v., per confronto, l’interpretazione di Dirac introdotta nello studio “L’equazione di Dirac”, pagine 58-59) e si  descrive un metodo grafico per rappresentare le interazioni: è il metodo dei diagrammi di Feynman, presentato per la prima volta da R. Feynman durante una conferenza tenuta negli USA nel 1948 (Pocono Conference).                                                                                                                                         Un risultato di grande interesse descritto in questo studio sta nel fatto  che il campo elettromagnetico mostra di essere in grado non solo di diffondere elettroni, ma anche di creare  coppie elettrone/positrone.

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50. Enrico Borghi – Diffusione di particelle in un campo di forze


In questo studio viene esaminato il fenomeno della diffusione (o dispersione, o scattering) di particelle da parte di un centro di forze.
Si tratta di un argomento assai vasto che qui viene affrontato con riferimento alla sola diffusione elastica, cioè ai fenomeni di diffusione nei quali le particelle non acquisiscono o non perdono energia.
Lo scenario nel quale tali fenomeni vengono analizzati è non-relativistico e comprende due sezioni: nella sezione A ci si riferisce alla Meccanica classica newtoniano/lagrangiana e nella sezione B si considera l’ambiente quantistico.
Una estensione relativistica verrà considerata in un prossimo futuro.
In Meccanica quantistica il fenomeno della diffusione può essere studiato sulla base della teoria della quantificazione dei campi (v. in “fisicarivisitata”, su questo argomento, alcuni studi riferiti a campi liberi, cioè non in interazione) oppure servendosi delle equazioni integrali basate sul concetto di propagatore (v. lo studio omonimo).
E’ a quest’ultimo metodo che faremo riferimento in questo studio che comprende anche alcune Appendici nelle quali vengono presentati i seguenti argomenti di supporto al tema principale:
Appendice A: Leggi di conservazione in Meccanica newtoniana;
Appendice B: Leggi di conservazione in Meccanica lagrangiana;
Appendice C: Analisi qualitativa del moto di una particella in regime di conservazione della energia totale;
Appendice D: Principio di Indeterminazione;
Appendice E: Descrizioni quantistiche della evoluzione temporale di un sistema meccanico.
Le prime tre Appendici sono di supporto allo studio della diffusione in ambito classico; nell’Appendice D viene mostrato come il Principio di Indeterminazione di Heisenberg può essere espresso in funzione delle regole di commutazione delle variabili dinamiche alle quali il Principio si riferisce; nell’Appendice E vengono presentate tre diverse descrizioni pre-relativistiche dei fenomeni quantistici: descrizione di Schrödinger, descrizione di interazione (o di Dirac) e descrizione di Heisenberg; viene inoltre mostrato in che modo, servendosi di trasformazioni unitarie, si può passare da una descrizione all’altra.

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49. Enrico Borghi – Propagatori


In questo studio, che fa riferimento alla Meccanica di Schrödinger, viene mostrato come si può ottenere la funzione d’onda associata a un sistema fisico risolvendo non la equazione differenziale di Schrödinger, ma servendosi di un oggetto matematico noto come “propagatore”: conoscendo il propagatore associato al sistema fisico e, in un certo istante iniziale, la funzione d’onda, si può ottenere la funzione d’onda in un qualunque istante successivo. Si può dire che il propagatore fa propagare la funzione d’onda da un istante a uno successivo.

L’espressione del propagatore si ottiene da una equazione integrale nella quale, nel caso più generale, compare un potenziale che dipende dal tempo, e questo obbliga a risolverla per approssimazioni successive.                                                                                                  Quali siano i vantaggi che si ottengono ricorrendo a questo metodo di calcolo di una funzione d’onda associata a un sistema fisico apparirà chiaramente nelle applicazioni che verranno considerate in studi futuri, nei quali verrà considerata anche una estensione relativistica (Relatività speciale) del concetto di propagatore.

Nelle due Appendici di questo studio vengono presentate, nella prima, alcune importanti proprietà formali della Meccanica di Schrödinger e, nella seconda, alcune brevi note sull’“integrale sui cammini” (o “integrale di percorso”), metodo proposto da Feynman per calcolare ampiezze di probabilità (R. P. Feynman, “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics”, Rev. of Mod. Phys., 20, 367 (1948)) che si basa sul concetto di propagatore.

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48. Enrico Borghi – Commutatori covarianti


I campi che in “fisicarivisitata” sono stati sottoposti a quantizzazione, cioè il campo scalare hermitiano, il campo scalare non hermitiano (campo di Klein-Gordon), il campo vettoriale reale (campo di Maxwell) e il campo bispinoriale (campo di Dirac) rappresentano solo alcune delle possibili applicazioni di un metodo generale, il metodo della quantizzazione dei campi, che permette di associare a un campo dotato di specifiche proprietà matematiche un sistema di particelle dotate di specifiche proprietà quantistiche.

Un passaggio fondamentale della procedura di quantizzazione (v. lo studio “Introduzione alla quantizzazione dei campi”) è la determinazione delle regole di commutazione o anticommutazione degli operatori di campo di cui sono funzione gli operatori associati alle variabili dinamiche di ciascun campo. Tali regole sono state specificate, nei quattro studi citati, per operatori di campo considerati a tempi uguali cosicché le regole di commutazione/anticommutazione non sono relativisticamente covarianti (Teoria della Relatività speciale).                                                                                                                              In questo studio tali regole vengono riprese e presentate, per il campo scalare hermitiano e per il campo di Klein-Gordon, in modalità interamente covariante.

Le regole di commutazione covariante per i campi di Maxwell e di Dirac verranno presentate in un altro studio.

 

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47. Enrico Borghi – Quantizzazione del campo di Dirac


Questo è l’ultimo di quattro studi dedicati a campi fisico-matematici di diversa natura ai quali è stata applicata la procedura di quantizzazione delineata in “Introduzione alla quantizzazione dei campi”.                                                                                                                Gli studi sono:                                                                                                                                          – Quantizzazione del campo scalare hermitiano                                                                               – Quantizzazione del campo di Klein-Gordon (campo scalare non hermitiano)                        – Quantizzazione del campo di Maxwell (campo vettoriale e reale)                                              – Quantizzazione del campo di Dirac (campo bispinoriale)                                                           I quanti del campo scalare hermitiano descrivono particelle dotate di massa ma prive di carica elettrica e di spin; i quanti del campo di Klein-Gordon descrivono particelle dotate di massa e carica elettrica ma prive di spin; i quanti del campo di Maxwell (o campo elettromagnetico) descrivono i fotoni, particelle prive di massa e di carica elettrica ma dotate di spin; i quanti del campo di Dirac descrivono gli elettroni e i positroni, dotati di massa, carica elettrica e spin.

La quantizzazione dei campi è uno strumento flessibile ed efficace ma allo stesso tempo è un argomento vasto e complicato perché la sua presentazione richiede apporti, oltre che dalla Meccanica quantistica, anche dal Teorema di Nöther e dalla Relatività speciale. Questo spiega perché in “fisicarivisitata” la quantizzazione dei campi è stata presentata soprattutto come una raccolta di esempi particolari di applicazione di un metodo, nel senso che nessuna delle procedure di quantizzazione sopraelencate è stata proposta nella sua completezza. Infatti di ciascuna sono state prese in esame solo alcune variabili dinamiche, come l’energia e/o la carica del campo e inoltre le particelle descritte dalle quantizzazioni che sono state considerate sono state assunte non interagenti e non soggette a campi esterni, e infine le quantizzazioni riguardano operatori associati a variabili dinamiche definite in ambito relativistico (Relatività speciale), ma i commutatori degli operatori di campo di cui tali operatori sono funzioni vengono definiti per tempi uguali e perciò non sono relativisticamente invarianti in forma.                                           Una estensione a commutatori relativisticamente covarianti verrà presentata in un prossimo studio.                                                                                                                                    E’ stato tuttavia dato risalto a condizioni accessorie, necessarie per rendere fisicamente accettabili i risultati di alcune procedure di quantizzazione, come la condizione di Lorenz per il campo di Maxwell e le regole di anticommutazione per gli operatori del campo di Dirac.                                                                                                                                                      Un aspetto che riguarda tutti campi considerati è la comparsa di infiniti che sono connessi con la presenza del vuoto fisico.

Ciò posto, esaminiamo più in dettaglio la quantizzazione del campo di Dirac.

Un importante risultato di questa procedura, che descrive fermioni (particelle con spin semiintero), è che, se si vuole renderla fisicamente accettabile, per gli operatori del campo di Dirac occorre introdurre regole di anticommutazione, mentre, come ricordiamo, per gli operatori del campo di Maxwell, che descrive bosoni (particelle con spin intero), valgono regole di commutazione.                                                                                                                     Se ne ricava, per gli operatori di campo, la seguente conclusione valida in generale: occorre usare regole di commutazione per i bosoni (ad es.: i fotoni), e regole di anticommutazione per i fermioni (ad es.: gli elettroni, i positroni, i neutroni, i protoni).

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